컴퓨터 그래픽스 - 수학적개념

데카르트 좌표계 

하나의 점(원점) 에서 수직으로 교차하는 직선 축으로 표현되는 좌표계
2차원 : x 축 y 축으로 이루어진 2차원 좌표게
3차원 : x축 + y축 + z축

 

 

동차좌표 

- n차원 투영공간을 n + 1개의 좌표로 나타내는 좌표

- 2차원 동차좌표: (Xh, Yh, h ), h != 0

 

2차원 데카르트 좌표와 동차좌표

- 데카르트 좌표(x,y)에 대한 동차좌표는 다음과 같이 표현한다

   (hx, hy, h) , h != 0

 

3차원 동차좌표 표현

데카르트 좌표 표현	동차좌표표현
(x, y, z)	(xh, yh, zh, h)
	xh = hx, yh = hy, zh =hz,   (h != 0)

 

예 

데카르트 좌표         동차 좌표

(2, 8 ,4)             => 동차 파라미터가 1일때 (2, 8, 4, 1)

(1, 4, 2)             => 동차파라미터가 2일때 (2, 8, 4, 2)

 

 

삼각함수

 

sin 함수 =  높이 / 빗변  (주기함수)      sin(−𝜃) = − sin 𝜃

cos 함수 = 밑변 / 빗변           ✽ cos (−𝜃) = cos 𝜃

 

삼각함수의 항등식 

    sin^2𝜃 + cos^2𝜃 = 1

 

삼각함수의 덧셈정리

 

sin (𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵

cos (𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵

 

 

스칼라(scalar)

방향과 관계없이 크기를 나타내는 하나의 값 

• 예 : 속력

 

벡터(vector)

방향과 크기를 함께 표현하는 기하객체

• 예 : 속도

 

벡터의 표현 

a위치의 점을 b위치로 이동시키는 벡터 V

𝐕 = (𝑥𝑣, 𝑦𝑣)

𝑥𝑣 = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑎

𝑦𝑣 = 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎

 

예시

𝑎 = (1, 2) , 𝑏 = (7, 5)

𝐕 = (6, 3)

 

행렬 표현 : 열벡터 또는 행 벡터

 

벡터의 길이

- 벡터 𝐕 = 𝑥𝑣, 𝑦𝑣 의 길이 |V|

 

 

단위벡터 : 길이가 1인 벡터

벡터 V의 정규화(동일한 방향의 단위벡터를 구하는것이다.)

스칼라곱셈 : 벡터 𝐕와 스칼라 𝑎의 곱셈 𝑎V

벡터의 합

A = 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 ,𝐁 = 𝑥𝐵, 𝑦𝐵

𝐀 + 𝐁 = 𝑥𝐴 + 𝑥𝐵, 𝑦𝐴 + 𝑦B

 

벡터 연산

내적(dot product, scalar product, inner product)

 

𝐀 ∙ 𝐁 = |𝐀| |𝐁| cos 𝜃 = 𝑥𝐴𝑥𝐵 + 𝑦𝐴𝑦𝐵

 

예)

𝐀 = 4, 1 𝐁 = 5, 3

𝐀 ∙ 𝐁 = 4 ∙ 5 + 1 ∙ 3 = 23

 

외적(cross product, vector product)

 

𝐀 × 𝐁 = 𝐀 𝐁 sin 𝜃 𝐧 = (𝑦𝐴𝑧𝐵 − 𝑧𝐴𝑦𝐵, 𝑧𝐴𝑥𝐵 − 𝑥𝐴𝑧𝐵, 𝑥𝐴𝑦𝐵 − 𝑦𝐴𝑥𝐵)

 

𝐱 (𝑦𝐴𝑧𝐵 − 𝑧𝐴𝑦𝐵) +𝐲 (𝑧𝐴𝑥𝐵 − 𝑥𝐴𝑧𝐵) +𝐳 (𝑥𝐴𝑦𝐵 − 𝑦𝐴𝑥𝐵)

 

 

𝐀 = (1, 0, 0) 𝐁 = (0, 1, 0)

𝐀 × 𝐁 = (0 ∙ 0 − 0 ∙ 1, 0 ∙ 0 − 1 ∙ 0, 1 ∙ 1 − 0 ∙ 0)

          = (0, 0, 1)

 

 

- 이미지 출처 : 한국 방송통신대학교